El número d’Euler considerat el nombre per excel·lència del càlcul. És un nombre irracional i té aplicacions en diverses àrees de les matemàtiques, la física i l’economia.
El número d’Euler surt d’aproximar l’expressió:
i el seu valor és aproximadament .
Es fa servir per simplificar molts problemes matemàtics.
Una propietat del número és que la seva funció exponencial és la derivada d’ella mateixa, el que és convenient per moltes funcions exponencials i logarítmiques.
També es pot calcular com a resultat de la sèrie infinita
i a més és l’única solució positiva de l’equació integral
El número d’Euler en el càlcul de l’interès compost continu
Suposem que prestes 100 € a una altra persona a un interès del 5% anual.
Normalment l’interès es liquida mensualment de manera que l’interès mensual serà . Quin serà el valor del préstec d’aquí a dos anys? Per fer-ho senzill assumim que el préstec no requereix pagaments fins al final d’aquests dos anys.
La fórmula per calcular l’interès és:
on
Valor de la inversió
Inversió inicial
Tipus d’interès
Període, en aquest cas nombre de mesos
Temps, en aquest cas dos anys
Si liquidem mensualment al cap de dos anys tindrem:
Què passaria si liquidem interessos diàriament? Canviem 12 per 365:
I si liquidem interessos cada hora? Sortirien 8,760 hores en un any:
Veiem que cada vegada guanyem fraccions més petites quan més freqüentment liquidem els interessos. En el límit tindríem la liquidació continua d’interessos:
I tenim que és molt semblant a l’avaluació de en
De fet si fem la substitució:
Llavors:
En la fórmula de l’interès compost tindríem:
I podem substituir per i la fòrmula de interès compost continu queda com: